Question

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求

SC

与

OB

夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据已知，求出各顶点的坐标，进而求出向量

SC

与

OB

的坐标，代入向量夹角公式，即可得到结论．
（Ⅱ）求出平面SBC的法向量，

OC

=（2，0，0），利用向量的夹角公式，即可求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面OABC的法向量，平面SBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角S-BC-O．

解答： 解：（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴

SC

=（2，0，-1），

OB

=（1，1，0），
∴cos＜

SC

，

OB

＞=

2

5 • 2

=

10

5

．
∴

SC

与

OB

夹角的余弦值为

10

5

．           …（3分）
（Ⅱ）设平面SBC的法向量

n

=（1，p，q），
∵

SC

=（2，0，-1），

CB

=（-1，1，0），
∴

2-q=0 -1+p=0

，∴

p=1 q=2

，
∴

n

=（1，1，2），…（6分）
又∵

OC

=（2，0，0），
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n || OC |

=

2

6 ×2

=

6

6

∴OC与平面SBC夹角的正弦值为

6

6

；…（8分）
（Ⅲ）∵SO⊥平面OABC，∴

OS

=（0，0，1）为平面OABC的法向量．
又∵平面SBC的法向量

n

=（1，1，2），
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n || OS |

=

2

6

=

6

3

．
∴二面角S-BC-O的余弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查空间角的计算，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．