Question

选修4-1几何证明选讲
如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（Ⅰ）若sin∠BAD=

3

5

，求CD的长；
（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

Answer 1

考点：弦切角,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）由⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，利用垂径定理可得CE=ED．在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角关系可得BD=ABsin∠BAD．再利用勾股定理可得AD=

AB2-AD2

．由等面积变形可得

1

2

AB×ED=

1

2

AD•BD，即可得出．
（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，利用三角形外角定理可得∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．在Rt△EOD中，由于∠EOD+∠ODE=

π

2

，可得x=

π

18

．进而得到∠AOC=2∠ADC=

5π

9

．再利用扇形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=

3

5

，∴BD=AB•sin∠BAD=10×

3

5

=6．
由勾股定理可得AD=

AB2-AD2

=

102-62

=8．
∵

1

2

AB×ED=

1

2

AD•BD，∴ED=

AD•BD

AB

=

6×8

10

=4.8．
∴CD=2ED=9.6．
（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．
∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．
在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=

π

2

，∴8x+x=

π

2

，解得x=

π

18

．
∴∠ADC=

5π

18

，
∴∠AOC=2∠ADC=

5π

9

．
∴扇形OAC（阴影部分）的面积S=

1

2

×

5π

9

×52=

125

18

π．

点评：本题综合考查了圆的性质、垂径定理、直角三角形的边角关系、勾股定理、等面积变形、三角形外角定理、扇形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．