Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱DD₁上的动点，F，G分别是BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF．
（2）当点E是棱DD₁上的中点时，求异面直线EF与CG所成角的余弦值．
（3）当二面角E-CF-D达到最大时，求其余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明CF⊥面BB₁D₁D，即可证明EF⊥CF．
（2）连接A₁E，AF．证明∠A₁EF或其补角为异面直线EF与CG所成角，求出△A₁EF的三边，利用余弦定理，可求异面直线EF与CG所成角的余弦值．
（3）确定∠EFD为二面角E-CF-D的平面角，当E与D₁重合时，二面角E-CF-D达到最大，利用余弦定理求其余弦值．

解答： （1）证明：∵F为BD的中点，∴CF⊥BD…（1分）
又∵DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥CF…（2分）
∵DD₁∩BD=D，
∴CF⊥面BB₁D₁D…（3分）
∵EF?面BB₁D₁D，∴CF⊥EF…（4分）；
（2）解：连接A₁E，AF．
当点E是棱DD₁上的中点时，因为G为BB₁的中点，由正方体的性质知A₁E∥CG，
故∠A₁EF或其补角为异面直线EF与CG所成角．…（5分）
在Rt△DEF中，EF=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3 4

=

3

2

…（6分）
在Rt△A₁D₁E中，A1E=

1+( 1 2 )2

=

5

2

…（7分）
在Rt△A₁AF中，A1F=

1+( 2 2 )2

=

6

2

…（8分）
故在△A₁EF中，cos∠A1EF=

A1E2+EF2-A1F2

2A1E•EF

=

5 4 + 3 4 - 6 4

2• 5 2 • 3 2

=

15

15

，
∴异面直线EF与CG所成角的余弦值为

15

15

…（9分）；
（3）解：∵CF⊥面BB₁D₁D，
∴CF⊥EF，CF⊥DF…（10分）
故∠EFD为二面角E-CF-D的平面角，…（11分）
当E与D₁重合时，二面角E-CF-D达到最大．…（12分）
此时，DF=

2

2

，DD1=1，EF=

6

2

…（13分）
∴cos∠EFD=

DF

EF

=

2 2

6 2

=

3

3

，即当二面角E-CF-D达到最大时其余弦值为

3

3

…（14分）．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线线角，面面角，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．