Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．
（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，
∴EF∥PB…（2分）
∵EF?面AEF，PB?面AEF
∴PB∥面AEF…（4分）
（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1
∴∠ABE=60°
又∵E为BD的中点
∴∠ADE=∠DAE
∴2（∠BAE+∠DAE）=180°
解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）
∵EA=EB=AB=1，∴AD=

3

，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系
由题设条件知：B(1，0，0)，D(0，

3

，0)，P(0，0，2)，F(0，

3

2

，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)
∴

PB

=(1，0，-2)，

PD

=(0，

3

，-2)，

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

AF

=(0，

3

2

，1)…（8分）
设

n1

=(x1，y1，z1)、

n2

=(x2，y2，z2)分别是面PBD与面AEF的法向量
则

x1-2z1=0 3 y1-2z1=0

，∴

n1

=(2，

2 3

3

，1)
又

3 2 y2+z2=0 1 2 x2+ 3 2 y2=0

，∴

n2

=(-

3

，1，-

3

2

)…（11分）
∴|cos?

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

11

19

．
∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为

11

19

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．