Question

在长方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=2，点E是棱DD₁的中点，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角，又过A₁、C₁、E三点的平面再截去长方体的另一个角得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁E
（1）若直线BC₁与平面A₁C₁CA所成角的正弦值为

10

10

，求棱AA₁的长．
（2）在（1）的前提下，求二面角E-A₁C₁-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC∩BD=O，证明∠BC₁O就是直线BC₁与平面A₁C₁CA所成角，利用直线BC₁与平面A₁C₁CA所成角的正弦值为

10

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，即可求棱AA₁的长．
（2）取A₁C₁的中点F，连接EF，BF，证明∠BFE就是求二面角E-A₁C₁-B的平面角，在△BFE中，求二面角E-A₁C₁-B的余弦值即可．

解答： 解：（1）设AC∩BD=O，则BD⊥AC，
∵BD⊥CC₁，
∴∠BC₁O就是直线BC₁与平面A₁C₁CA所成角．
设AA₁=h，则sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

2

h2+4

=

10

10

，
∴AA₁=h=4；
（2）取A₁C₁的中点F，连接EF，BF，
∵A₁B=BC，
∴BF⊥A₁C₁，
同理EF⊥A₁C₁，
∴∠BFE就是求二面角E-A₁C₁-B的平面角．
在△BFE中，EF=

6

，BF=3

2

，BE=2

3

，
则BF²=BE²+EF²=18，
∴BE⊥EF，
∴cos∠BFE=

EF

BF

=

3

3

．

点评：本题考查线面角，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角、面面角是关键．