Question

如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=

π

3

，AD=2．
（1）求证：平面FCB∥平面AED；
（2）若二面角A-EF-C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；
（2）取EF的中点M，证明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角．解法1（几何方法）：延长CB到G，使BC=BG，证明∠CGM为所求，可得结论；解法2（向量方法）：求出平面AEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： （1）证明：矩形BDEF中，FB∥ED，--------（1分）
∵FB?平面AED，ED?平面AED，
∴FB∥平面AED，-（2分）
同理BC∥平面AED，-------（3分）
又FB∩BC=B，
∴平面FBC∥平面EDA．------（4分）
（2）解：取EF的中点M．
∵ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB
∵ABCD是菱形，BDEF是矩形，
∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，
∴AE=AF，CE=CF，
∴AM⊥EF，CM⊥EF，
∴∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角-------（8分）
解法1（几何方法）：
延长CB到G，使BC=BG，由已知可得，ADBG是平行四边形，又BDEF矩形，
∴AEFG是平行四边形，A，E，F，G共面，
由上证可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M，
∴CM⊥平面AEFG，
∴∠CGM为所求．

由AD=2，∠DAB=60°，得AC=2

3

等腰直角三角形AMC中，AC=2

3

，可得MC=

6

直角三角形GMC中，sin∠CGM=

CM

CG

=

6

4

解法2（向量方法）：以D为原点，DC为y轴、DE为z轴，与DC垂直的直线为x轴，建立如图的直角坐标系，由AD=2．则M(

3

2

，

1

2

，

3

)，C（0，2，0），平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，-------（12分）

∴

CB

=

DA

=(

3

，-1，0)，
∴cos＜

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

，
∴sinθ=

6

4

．---（14分）

点评：本题考查线面平行、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确找出线面角是关键．