Question

（理科做）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且AB=AD=2BC，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=AB，求直线PD与AB所成角的余弦值；
（3）若平面APB与平面PCD所成的二面角为45°，求

PO

BC

的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过O作BC的平行线交CD与点E，则OE⊥AB，建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明其数量积为0，即可证明PD⊥AC；
（2）求出向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求直线PD与AB所成角的余弦值；
（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的二面角为45°，利用向量的夹角公式，即可求

PO

BC

的值．

解答： （1）证明：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥平面ABCD．
过O作BC的平行线交CD与点E，则OE⊥AB．
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz…（2分）
设BC=a，OP=h，则B（a，0，0），A（-a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴

AC

=(2a，a，0)，

PD

=(-a，2a，-h)．
∵

AC

•

PD

=-2a2+2a2=0，
∴PD⊥AC．…（6分）
（2）解：由PO=AB，得h=2a，于是P（0，0，2a）
∵

AB

=(2a，0，0)，

PD

=(-a，2a，-2a)，…（8分）
∴cos＜

AB

，

PD

＞=

AB • PD

| AB || PD |

=

-2a2

2a•3a

=-

1

3

，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为

1

3

．…（10分）
（3）解：设平面PAB的法向量为

m

，可得

m

=(0，1，0)，
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
由题意得

PC

=(a，a，-h)，

PD

=(-a，2a，-h)，
∵

PC • n =ax+ay-hz=0 PD • n =-ax+2ay-hz=0

，
∴

y=2x z= 3ax h

．
令x=1，得到

n

=(1，2，

3a

h

)，…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

5+ 9a2 h2

，…（14分）
∵平面APB与平面PCD所成的二面角为45°，
∴

2

5+ 9a2 h2

=

2

2

，解得

a

h

=

3

3

，
即

PO

BC

=

3

．                                             …（16分）

点评：本题考查线线垂直，考查线线角，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确求出向量的坐标是关键．