Question

已知向量

p

=(cosα-5，-sinα)，

q

=(sinα-5，cosα)，

p

∥

q

，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求2sin2(

α

2

+

π

6

)-sin(α+

π

6

)．

Answer 1

考点：二倍角的正切,平行向量与共线向量,同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量坐标，以及两向量平行的条件列出关系式，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值，再利用二倍角的正切函数公式即可求出tan2α的值；
（2）原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后将cosα的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵

p

=（cosα-5，-sinα），

q

=（sinα-5，cosα），

p

∥

q

，
∴（cosα-5）cosα-（sinα-5）（-sinα）=0，
整理得：sinα+cosα=

1

5

＞0，
∵α∈（0，π），∴α∈（

π

2

，π），
∴sinα-cosα=

2-(sinα+cosα)2

=

7

5

，
解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
∴tanα=-

4

3

，
则tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

24

7

；
（2）∵cosα=-

3

5

，
∴原式=1-cos（α+

π

3

）-sin（α+

π

6

）=1-

1

2

cosα+

3

2

sinα-

3

2

sinα-

1

2

cosα=1-cosα=

8

5

．

点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，共线向量与平行向量，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．