Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP．
（Ⅰ） 求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=

3

AE，求二面角F-BE-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC交BE于点M，连接FM，证明FM∥AP，利用线面平行的判定定理，可得PA∥平面BEF；
（Ⅱ）连CE，在平面PCE内过F作FH⊥CE于H，过H作HM⊥BE于M，连FM，可得∠FMH为二面角F-BE-C的平面角，求出FH，MH，即可求二面角F-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．
由EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP…（4分）
又∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF…（6分）
（Ⅱ）解：连CE，在平面PCE内过F作FH⊥CE于H．
由于FH∥PE，故FH⊥平面ABCD．
过H作HM⊥BE于M，连FM．则FM⊥BE，
即∠FMH为二面角F-BE-C的平面角．…（10分）
∵FH=

2

3

PE=

2 3

3

AE，MH=

1

3

BC=

2

3

AE，
∴∠FMH=60°，
即二面角F-BE-C的大小为60°．…（14分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．