Question

已知向量

m

=(

3

sin2x+2，cosx)，

n

=(1，2cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

，x∈R．
①求f（x）的最大值以及此时相应的自变量x的集合；
②在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：①由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，确定出f（x）解析式，求出f（x）最大值以及此时x的集合即可；
②由第一问得到f（x）解析式，以及f（A）=4，求出A的度数，得到sinA与cosA的值，利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积与b，sinA的值代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：①∵

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值为5，此时2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z；
②由f（A）=4，得到2sin（2A+

π

6

）+3=4，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

（不合题意，舍去）或2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

2

，
∴c=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2=3，即a=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．