Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=

2

，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角D-AC₁-C的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面BC₁，只需证明CC₁⊥AD，AD⊥BC；
（Ⅱ）连接A₁C交AC₁于M，连接DM．证明A₁B∥平面AC₁D，利用三角形中位线的性质，证明DM∥A₁B即可；
（Ⅲ）以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA₁为Oz轴建立空间直角坐标系，求出平面AC₁D、平面AC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角D-AC₁-C的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AD…（1分）
∵AB=AC，且D为AC中点
∴AD⊥BC …（2分）
∵CC₁⊥AD，AD⊥BC，BC∩CC₁=C…（3分）
∴AD⊥平面BC₁…（4分）
（Ⅱ）证明：连接A₁C交AC₁于M，连接DM
∵侧面AC₁为平行四边形
∴M为A₁C中点…（5分）
∵D为BC中点
∴DM∥A₁B…（6分）
∵DM∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DM?平面AC₁D…（7分）
∴A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC
又∵AB⊥AC…（9分）
∴以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA₁为Oz轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0.5，0.5，0），C₁（0，1，

2

），A₁（0，0，

2

），
∴

AD

=（0.5，0.5，0），

AC1

=（0，1，

2

）…（10分）
设平面AC₁D的法向量为

n1

=（x，y，z），
∴

0.5x+0.5y=0 y+ 2 z=0

令z=1，则x=

2

，y=-

2

∴

n1

=（

2

，-

2

，1）…（11分）
又∵AB⊥平面AC₁
∴平面AC₁的法向量

n2

=

AB

=（1，0，0）…（12分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

5

=

10

5

…（13分）
又由图可知二面角D-AC₁-C为锐角，二面角的余弦值为

10

5

∴二面角D-AC₁-C的正弦值为

15

5

…（14分）

点评：本题考查线面垂直，线面平行的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题．