Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M为PB中点．
（1）证明：AB⊥CM；
（2）求AC与PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

AB

=（0，2，0），

CM

=（-1，0，

1

2

），可得

AB

•

CM

=0，即可得出结论；
（2）

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），利用向量的夹角公式，即可求AC与PB所成的角的余弦值；
（3）求出平面AMC、平面MCB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）证明：以A为原点，以AD，AB，AP所在的直线为x，y，z轴（如图）建立空间直角坐标系．由已知：A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，

1

2

）    …（2分）
∴

AB

=（0，2，0），

CM

=（-1，0，

1

2

），
∴

AB

•

CM

=0，
∴AB⊥CM…（4分）
（2）解：∵

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

2

2 • 5

=

10

5

，
∴AC，PB所成角的余弦值为

10

5

…（8分）
（3）解：设

n

=(x，y，z)为平面AMC的法向量，则：

n

•

AC

=(x，y，z)•(1，1，0)=x+y=0

n

•

AM

=(x，y，z)•(0，1，

1

2

)=y+

1

2

z=0，
取z=2，则y=-1，x=1，即：

n

=(1，-1，2)
同理可求得平面MCB的一个法向量为

m

=(1，1，2)…（10分）
∴cos＜

n

，

m

＞=

4

6 • 6

=

2

3

，
∴二面角A-MC--B所成角的余弦值为-

2

3

…（12分）

点评：本小题考查空间中的异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，考查学生的计算能力，属于中档题．