Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为2，且侧棱AA₁⊥底面ABC，点D是BC的中点
（1）求证：AD⊥C₁D；
（2）求直线AC与平面ADC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题设条件推导出AD⊥平面BCC₁B₁，由此能够AD⊥C₁D．
（2）过点C作CO⊥C₁D，交C₁D于点O．连结AO，∠ACO是直线AC与平面ADC₁所成角，由此能求出AC与平面ADC₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，…（2分）
又点D是棱BC的中点，
且△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…（4分）
又∵DC₁?平面BCC₁B₁，∴AD⊥C₁D．…（6分）
（2）过点C作CO⊥C₁D，交C₁D于点O．连结AO，
∵AD⊥平面BCC₁B₁，CO?平面BCC₁B₁，
∴CO⊥平面ADC₁，…（8分）
∴∠ACO是直线AC与平面ADC₁所成角，…（9分）
又∵∠COD=∠DCC₁=90°，
∠ODC=∠ODC，
∴△ODC∽△DCC₁．…（10分）
∵底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为2，
且侧棱AA₁⊥底面ABC，点D是BC的中点
∴DC=1，CC₁=2，DC₁=

1+4

=

5

，
∵

OC

CC1

=

DC

DC1

，
∴OC=

DC•CC1

DC1

=

1×2

5

=

2 5

5

．
∴cos∠ACO=

OC

AC

=

2 5 5

2

=

5

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与直线垂直，直线与平面平行，考查空间想象能力，计算能力．