Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．
（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱锥S-ABC的体积V_S-ABC=

1

6

，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD可得；
（2）连结AC，利用三棱锥S-ABC的体积V_S-ABC=

1

6

，求出AB，再建立坐标系，求出平面SAD的一个法向量、平面SBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小．

解答： （1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴SA⊥CD．…．（1分）
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
∴AD⊥CD，
又AD∩SA=A，
∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）
∵AE?侧面SAD
∴AE⊥CD，
∵AE⊥SD，CD∩SD=D，
∴AE⊥平面SDC；…．（5分）
（2）解：连结AC，
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，SA=2，AD=DC=1
∴AC=

2

，∠ACB=

π

4

，
设AB=t，则S△ABC=

2

4

AC•t=

t

2

，
∵三棱锥V=

1

6

=

2

3

•

t

2

，
∴t=AB=

1

2

．…．（7分）
如图建系，则A（0，0，0），S（0，0，2），D（0，1，0），B（0.5，0，0），C（1，1，0），
由题意平面SAD的一个法向量为

m

=（1，0，0），
不妨设平面SBC的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

SB

=（0.5，0，-2），

SC

=（1，1，-2），
∴

x-4z=0 x+y-2z=0

，
不妨令z=1，则

n

=（（4，-2，1）…．（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4

21

，…．（11分）
设面SAD与面SBC所成二面角为θ，则sinθ=

105

21

…．（12分）

点评：本题考查线面垂直的判断与性质，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．