Question

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中点．
（1）证明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明BC⊥AD，结合BC⊥CD，AD∩CD=D，可得BC⊥平面ACD，利用面面垂直的判定定理，可得平面ABC⊥平面ADC；
（2）作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点HG，连接CH，证明∠CHG为二面角的平面角，结合∠BDC=60°，即可求二面角C-BM-D的大小．

解答： （1）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴BC⊥AD．
又∵BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC；
（2）解：作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点HG，连接CH．
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，
∴CG⊥AD
又∵CG⊥BD，AD∩BD=D，
∴CG⊥平面ABD，
又∵BM?平面ABD，∴BM⊥CG
又∵BM⊥GH，CG∩GH=G，
∴BM⊥平面CGH，
∵CH?平面CGH，
∴BM⊥CH
∴∠CHG为二面角的平面角．
在Rt△BCD中，CD=BDcos60°=

2

，CG=CDsin60°=

6

2

，BG=BCsin60°=

3 2

2

．
在Rt△BDM中，HG=

BG?DM

BM

=

2

2

在Rt△CHG中，tan∠CHG=

CG

HG

=

6 2

2 2

=

3

，
∴∠CHG=60°，即二面角C-BM-D的大小为60°．

点评：本题考查面面垂直的判定，考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．