Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量，利用

n

•

AM

=0，即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
则

AM

=（0，1，1），

SD

=（1，0，-2），

CD

=（-1，-2，0）．
设平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），则

x-2z=0 -x-2y=0

令z=1，则x=2，y=-1．于是

n

=（2，-1，1）．
∵

n

•

AM

=0-1×1+1×1=0，∴

AM

⊥

n

．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：易知平面SAB的法向量为

n1

=（1，0，0）．
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
则|cosα|=|

n • n1

| n || n1 |

|=

2

1× 6

=

6

3

∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，求出平面SCD与平面SAB的法向量是解题的关键．