Question

已知f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）根据函数的单调性，将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（ I）函数定义域为R，
∵f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
∴f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（ II）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

(ax1-ax2+a-x2-a-x1)=

a

a2-1

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1+x2

)=

a

(a+1)(a-1)

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
当a＞1时，

a

(a+1)(a-1)

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
当0＜a＜1时，

a

(a+1)(a-1)

＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴当a＞0，a≠1时，f（x）在定义域内单调递增．
（ III）由（ II）知，f（x）在R上是增函数，
∴在区间[-1，1]是增函数，
即fmin(x)=f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)=-1，
即要使2f（x）-3b≥0恒成立，

3

2

b≤f(x)，
只需

3

2

b≤-1，b≤-

2

3

，
∴b的取值范围是(-∞，-

2

3

]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据定义是解决本题的根据，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．