Question

如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取EF的中点O，连结OD，OA'，证明EF⊥平面A'OD，即可证明A′D⊥EF；
（2）证明∠A'OD是二面角A'-EF-D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A′-EF-D的余弦值．

解答： （1）证明：取EF的中点O，连结OD，OA'，
因为DE=DF，A'E=A'F，
所以EF⊥OA'，EF⊥OD，
因为OA'∩OD=O，
所以EF⊥平面A'OD，…（3分）
因为A'D?平面A'EF，
所以A'D⊥EF…（4分）
（2）解：由已知，EF⊥OA'，EF⊥OD，
所以∠A'OD是二面角A'-EF-D的平面角．…（5分）
因为OD=

3 3

2

，OA′=

3

2

，A′D=2．
所以cos∠A′OD=

3 4 + 27 4 - 3 4

2• 3 2 • 3 3 2

=

7

9

．
所以所求角的余弦值为

7

9

．…（8分）

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键．