Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB∥平面AEC．
（2）由已知条件得到CD⊥AD，CD⊥PA，从而得到CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PCD⊥平面PAD．
（3）分别求出平面ACD的法向量

m

和平面AEC的法向量

n

，由此能求出二面角E-AC-D的正弦值．

解答： （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，
四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=4，E为PD中点，
∴P（0，0，4），B（4，0，0），
A（0，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
∴

PB

=(4，0，-4)，

AC

=（4，4，0），

AE

=(0，2，2)，
设平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AC

=0，

n

•

AE

=0，
∴

4x+4y=0 2y+2z=0

，∴

n

=（1，-1，1），
∵

PB

•

n

=4+0-4=0，且PB不包含于平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
∵四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（3）解：∵平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
由（1）知平面AEC的法向量

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
sin＜

m

，

n

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角E-AC-D的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．