Question

四棱锥S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．
（Ⅰ）求证：SD∥平面CFA；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ） 连结BD交AC于点E，连结EF，由已知条件推导出EF∥SD，由此能够证明SD∥平面CFA．
（Ⅱ）以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴空间直角坐标系，利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角大小．

解答： 解：（Ⅰ） 连结BD交AC于点E，连结EF，
∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．（2分）
在△BSD中，∵F为SB的中点，∴EF∥SD，（3分）
又∵EF?面CFA，SD?面CFA，∴SD∥平面CFA．（5分）
（Ⅱ）以BC的中点O为坐标原点，
分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．
∵∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点，
∴A(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)，S(0，0，

2

)，C(0，

2

，0)，
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SB

=(0，-

2

，-

2

)，

CS

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=

BA

=(

2

，

2

，0)，（7分）
设平面SAB的一个法向量为

n1

=(x，y，z)
由

n1 • SA =0 n1 • SB =0

，得

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

，
令z=1得：x=1，y=-1，∴

n1

=(1，-1，1)．（9分）
同理设平面SCD的一个法向量为

n2

=(a，b，c)
由

n2 • CD =0 n2 • CS =0

，得

2 a+ 2 b=0 - 2 b+ 2 c=0

，
令b=1得：a=-1，c=1，
∴

n2

=(-1，1，1)．（10分）
设面SCD与面SAB所成二面角为θ
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

3

，
∴θ=arccos

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．