Question

如图，在几何体ABC-A₁B₁C₁中，点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA₁=BB₁=4，AB=BC=CC₁=2，E为AB₁中点，
（Ⅰ）求证；CE∥平面A₁B₁C₁，
（Ⅱ）求证：求二面角B₁-AC₁-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取A₁B₁中点F，连接EF，FC，证明CE∥平面A₁B₁C₁，只需证明CE∥C₁F；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACC₁、平面AB₁C₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B₁-AC₁-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
取A₁B₁中点F，连接EF，FC，则EF∥

1

2

A₁A，EF=

1

2

A₁A，
∵AA₁4，CC₁=2，∴CC₁∥

1

2

A₁A，CC₁=

1

2

A₁A，
∴CC₁∥EF，CC₁=EF，
∴四边形EFC₁C为平行四边形，
∴CE∥C₁F，
∵CE?平面A₁B₁C₁，C₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（0，0，4），C₁（0，2，2），
∴

AC

=（-2，2，0），

CC1

=（0，0，2），

AB1

=（-2，0，4），

B1C1

=（0，2，-2）．
设平面ACC₁的法向量为

n

=（x，y，z），则

-2x+2y=0 2z=0

，
令x=1，则

n

=（1，1，0）．
同理可得平面AB₁C₁的法向量为

m

=（2，1，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m || n |

=

3

2

．
由图可知二面角B₁-AC₁-C为钝角，
∴二面角B₁-AC₁-C的大小为150°．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定定理，正确运用向量法是关键．