Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题设推导出AF=FD=

2

2

，求出平面PCD的一个法向量为

n

，由

n

•

MN

=0，能推导出MN∥平面PCD．
（Ⅱ）分别求出平面PCD的法向量和平面ADC的一个法向量，利用向量法能求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证：∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，
PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，
∴由题设知：在Rt△AFD中，AF=FD=

2

2

，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，

2

2

，0），
D（-

2

2

，

2

2

，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1-

2

4

，

2

4

，0），…（4分）
∴

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，…（5分）

PF

=(0，

2

2

，-2)，

PD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)…（6分）
设平面PCD的一个法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • PF =0 n • PD =0

，∴

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

，
令z=

2

，得

n

=（0，4，

2

），
∴平面PCD的一个法向量

n

=（0，4，

2

）…（8分）
∵

MN

•

n

=0+

2

-

2

=0，
∴MN∥平面PCD．…（10分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面PCD的法向量

n

（0，4，

2

），
平面ADC的一个法向量为

AM

=(0，0，1)…（12分）
设二面角P-CD-A的平面角为α，
则cosα=

n • AM

| n |•| AM |

=

2

18 ×1

=

1

3

∴二面角P-CD-A的余弦值为

1

3

．…（14分）

点评：本题考查平面的法向量的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．