Question

已知函数f(x)=lnx-

a

x

（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）若a＞0，求函数的导数，即可判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）将不等式f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，进行参数分离，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=lnx-

a

x

，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f'（x）=

1

x

+

a

x2

，
当a＞0，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
即lnx-

a

x

＜x²在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，只要求得g（x）的最大值即可，
g′（x）=lnx+1-3x²，g″（x）=

1-6x2

x

，
∵x＞1，∴1-6x²＜0，
∴g″（x）=

1-6x2

x

＜0，
即g′（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g'（x）_max=g'（1）=-3＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值为g（1）=-1，
∴要使a＞xlnx-x³恒成立，即a≥-1．
即a的取值范围是a≥-1．

点评：本题主要考查函数单调性和最值的问题，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，将不等式恒成立问题进行转化，利用导数求函数的最值即可．