Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=F₁C=1．
（Ⅰ）求证：E、B、F、D₁四点共面；
（Ⅱ）若点G在BC上，BG=

2

3

，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC₁B₁；
（Ⅲ）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求cosθ．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）在DD₁上取一点N使得DN=1，连结CN，EN，得到四边形CFD₁N是平行四边形，四边形DNEA是平行四边形，由此能够证明E，B，F，D₁四点共面．
（Ⅱ）由已知条件推导出△BCF∽△MBG，从而推导出四边形ABME是矩形，由此能够证明EM⊥面BCC₁B₁．
（Ⅲ）由已知条件推导出∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角的平面角，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：在DD₁上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD₁N是平行四边形，
∴D₁F∥CN．同理四边形DNEA是平行四边形，
∴EN∥AD，且EN=AD．又BC∥AD，且AD=BC，
∴EN∥BC，EN=BC，∴四边形CNEB是平行四边形．
∴CN∥BE．∴D₁F∥BE．
∴E，B，F，D₁四点共面．…．（5分）
（Ⅱ）证明：∵GM⊥BF，∴△BCF∽△MBG，
∴

MB

BC

=

BG

CF

，即

MB

3

=

2 3

2

．∴MB=1．…．（7分）
∵AE=1，∴四边形ABME是矩形．∴EM⊥BB₁．…．（8分）
又∵平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，且EM在平面ABB₁A₁内，
∴EM⊥面BCC₁B₁．…．（10分）
（Ⅲ）∵EM⊥面BCC₁B₁，∴EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF．
∴∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角的平面角．…．（12分）
∵∠EMH=90°，∴tanθ=

ME

MH

，ME=AB=3，△BCF∽△MHB．
∴3：MH=BF：1．又∵BF=

22+32

=

13

，
∴MH=

3

13

．∴tanθ=

ME

MH

=

13

．
所以cosθ=

14

14

．…..（14分）

点评：本题考查四点共面的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．