Question

如图所示，已知在四面体ABCD中，AB⊥BD，△ABC与△BCD是两个全等的等腰直角三角形，AB=BC=CD．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求直线AD与平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，推导出AB⊥CD，由△BCD是等腰直角三角形，推导出CD⊥BC，由此能证明面ABC⊥面ACD．
（2）由CD⊥面ABC，推导出∠DAC为直线AD与平面ABC所成的角，由此能求出直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

解答： 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴AB⊥BC …（1分）
又∵AB⊥BD  BC∩BD=B，BC?面BCD，BD?面BCD，…（2分）
∴AB⊥面BCD …（3分）
又∵CD?面BCD
∴AB⊥CD…（4分）
又∵△BCD是等腰直角三角形，BC=CD，
∴CD⊥BC，…（5分）
又∵AB∩BC=B，AB?面ABC，BC?面ABC，
∴CD⊥面ABC，…（7分）
又∵CD?面ACD，
∴面ABC⊥面ACD．…（8分）
（2）∵CD⊥面ABC，
∴AC为直线AD在平面ABC内的射影，
∴∠DAC为直线AD与平面ABC所成的角，…（10分）
设AB=BC=CD=a，则AC=BD=

2

a，AD=

3

a，
∴在Rt△ACD中，cos∠DAC=

AC

AD

=

6

3

．…（11分）
∴直线AD与平面ABC所成角的余弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．