Question

如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0），C（-2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足

EM

=

EO

+

EP

（1）求点M的轨迹方程；
（2）已知点F（0，

1

2

），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且

QF

=λ

FR

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意设出P的坐标，设出M的坐标，求出线段OP的垂直平分线方程，得到E的坐标，由

EM

=

EO

+

EP

，得到P与M坐标的关系式，消参后得到M的轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和（1）中求得的曲线方程联立，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到Q，R两点的横坐标的和与积，由

QF

=λ

FR

得到关于λ与直线l的斜率的等式，由l的斜率的范围得到关于λ的不等式，求解不等式得实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）设P（t，2）（-2≤t≤2），M（x，y）
当t=0时，点M与E重合，则M（0，1）；
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为y-1=-

t

2

(x-

t

2

)，
令x=0，得y=

t2+4

4

，即E（0，

t2+4

4

），
由

EM

=

EO

+

EP

，得（x，y-

t2+4

4

）=（0，-

t2+4

4

）+（t，2-

t2+4

4

），
∴

x=t y=2- t2+4 4

，消去t，得x²=-4（y-1），
点（0，1）适合上式，故点M的轨迹方程为x²=-4（y-1）（-2≤x≤2）；
（2）设l：y=kx+

1

2

，（-

1

4

≤k≤

1

4

），代入x²=-4（y-1），
得x²+4kx-2=0，
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则

△=16k2+8＞0 x1+x2=-4k x1x2=-2

，
由

QF

=λ

FR

，得x₁=-λx₂，∴

(1-λ)x2=-4k -λx22=-2

，则

(1-λ)2

λ

=8k2，
∵0≤k2≤

1

16

，∴0≤

(1-λ)2

λ

≤

1

2

，
即2λ²-5λ+2≤0（λ＞0），解得：

1

2

≤λ≤2．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，解答的关键是利用向量间的关系得等式，训练了利用消参数法求曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系解题，是高考试卷中的压轴题．