Question

已知直线kx-y-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到F的最小距离为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线：mx+ny=1，当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线与圆O是否相交于两个不同的点A，B？若相交，试求弦长|AB|的取值范围，否则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得y=k（x-3），所以F（3，0），根据椭圆C上的点到F的最小距离为2，结合椭圆几何量之间的关系，即可求椭圆C的标准方程；
（2）利用圆心O到直线：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，可得直线与圆O恒相交于两个不同的点A、B，利用弦长公式求弦长，结合m的范围，可求弦长|AB|的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得y=k（x-3），所以F（3，0）-------------------------（2分）
设椭圆方程C为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c=3 a-c=2 a2=b2+c2

，
解得

a=5 b=4 c=3

---------（4分）
所以椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1；-------------------------------------（5分）
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2
从而圆心O到直线：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r
所以直线与圆O恒相交于两个不同的点A、B---------------------------------（7分）
此时弦长|AB|=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

---------------------------（9分）
由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，则|AB|∈[

15

2

，

4 6

5

]---------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．