Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

n

k=1

a_k＞

3n-2

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由{

1

an

-

2

3

}是以

1

3

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3×4n-1

2×4n-1+1

=

3

2

-

3

4n+2

＞

3

2

-

3

4n

，利用放缩法能够证明

n

k=1

ak＞

3n-2

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a1=1，an=

4an-1

2an-1+1

(n≥2)，
∴

1

an

=

2an-1+1

4an-1

=

1

4

×

1

an-1

+

1

2

，
∴

1

an

-

2

3

=

1

4

(

1

an-1

-

2

3

)，
∵a1-

2

3

=

1

3

，
∴{

1

an

-

2

3

}是以

1

3

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，
∴

1

an

-

2

3

=

1

3

(

1

4

)n-1，解得an=

3×4n-1

2×4n-1+1

，
∵a₁=1也适合此式，
∴an=

3×4n-1

2×4n-1+1

．
（Ⅱ）∵an=

3×4n-1

2×4n-1+1

=

3

2

-

3 2

2×4n-1+1

=

3

2

-

3

4n+2

＞

3

2

-

3

4n

，
∴

n

k=1

ak=a₁+a₂+…+a_n＞

3

2

n-3×

1 4 •[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3

2

n-1+(

1

4

)n＞

3

2

n-1＞

3n-2

2

．
∴

n

k=1

ak＞

3n-2

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意递推公式、构造法、放缩法的合理运用．