Question

如图，已知四边形ABCD与CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）证明ED⊥平面ABCD，根据平面ABCD⊥平面CDEF，只需证明ED⊥CD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE、平面BEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角D-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，
又因为四边形CDEF为正方形，
所以ED⊥CD．
因为ED?平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）解：以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．
所以平面BDE的法向量为

AC

=(-1，1，0)．…（5分）
设平面BEC的法向量为

n

=（x，y，z）．
因为

CB

=(1，0，0)，

CE

=(0，-1，1)，
所以

x=0 -y+z=0

即

x=0 y=z.

令z=1，则

n

=（0，1，1）．…6 分
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC || n |

=

1

2

．
所以二面角D-BE-C的大小为60°．…（8分）

点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查面面角，正确运用线面垂直的判定定理，求出平面的法向量是关键．