Question

已知函数f（x）=

x2+kx+4

x

（1≤x≤3），若对定义域内的任意实数x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先确定函数f（x）=

x2+kx+4

x

（1≤x≤3）的最大值与最小值，根据对定义域内的任意实数x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，可得[f（x₁）+f（x₂）]_min＞f（x₃）_max，从而可求实数k的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

x2+kx+4

x

=x+

4

x

+k，
∵1≤x≤3，
∴x=2时，f（x）_min=4+k；x=1时，f（x）_max=5+k，
∵对定义域内的任意实数x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
∴2（4+k）＞5+k，
∴k＞-3，
∴实数k的取值范围是（-3，+∞）．
故答案为：（-3，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的最大值与最小值是解题的关键．