Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M为D₁C的中点．
（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD₁A₁；
（2）若二面角A-D₁E-C的余弦值为

4 5

15

．求线段AE的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）取DD₁的中点N，连结MN，AN，ME，由已知条件推导出四边形MNAE为平行四边形，由此能证明直线ME∥平面ADD₁A₁．
（2）设AE=m，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，结合题设条件利用向量法能求出线段AE的长．

解答： （1）证明：取DD₁的中点N，连结MN，AN，ME，
∵点M为D₁C的中点，E点是AB中点，
∴MN

∥

.

1

2

CD，AE

∥

.

1

2

CD，
∴四边形MNAE为平行四边形，
∴ME∥AN，
∵AN?平面ADD₁A₁，ME不包含于平面ADD₁A₁，
∴直线ME∥平面ADD₁A₁．
（2）解：设AE=m，如图以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（1，0，0），E（1，m，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
∴

AD1

=（-1，0，2），

AE

=（0，m，0），

D1C

=（0，2，-2），

EC

=(-1，2-m，0)，
设平面AD₁E的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1

•

AD1

=0，

n1

•

AE

=0，
∴

my1=0 -x1+2z1=0

，∴

n1

=(2，0，1)，
设平面D₁EC的法向量为

n2

=（x，y，z），
则

n2

•

D1C

=0，

n2

•

EC

=0，
∴

2y-2z=0 -x+(2-m)y=0

，∴

n2

=（2-m，1，1），
设二面角A-D₁E-C的平面角为θ，
∵二面角A-D₁E-C的余弦值为

4 5

15

，
∴cosθ=

5-2m

5 • (2-m)2+1+1

=

4 5

15

，
整理，得20m²-116m+129=0，
解得m=

3

2

或m=

43

10

（舍），
∴线段AE的长为

3

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段落长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．