Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且

a

，

b

的夹角为

π

3

，O为平面直角坐标系的原点，点A、B满足

OA

=2

a

+

b

，

OB

=3

a

-

b

，则△OAB的面积为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由向量的运算能求出|

OA

|，|

OB

|和

OA

•

OB

，代入夹角公式得cos∠BOA，利用三角函数知识能求出sin∠BOA，由此利用∴△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠BOA，能求出结果．

解答： 解：∵向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且

a

，

b

的夹角为

π

3

，
O为平面直角坐标系的原点，
点A、B满足

OA

=2

a

+

b

，

OB

=3

a

-

b

，
∴|

OA

|=

(2 a + b )2

=

4 a 2+4 a • b + b 2

=

4+4× 1 2 +1

=

7

，
|

OB

|=

(3 a - b )2

=

9 a 2-6 a • b + b 2

=

9-6× 1 2 +1

=

7

，

OA

•

OB

=（2

a

+

b

）•（3

a

-

b

）=6

a

2+

a

•

b

-

b

2=6+

1

2

-1=

11

2

，
∴cos∠BOA=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

11 2

7 • 7

=

11

14

，
∴sin∠BOA=

1-( 11 14 )2

=

5 3

14

，
∴△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠BOA
=

1

2

×

7

×

7

×

5 3

14

=

5 3

4

．
故答案为：

5 3

4

．

点评：本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题题时要认真审题，注意向量的模、数量积、三角函数等知识点的合理运用．