Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b²=a（a+b），cos（A-B）+cosC=1-cos2C，试求

a+c

b

的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：根据三角恒等变换公式，算出2sinAsinB=2sin²C，结合正弦定理得到ab=c²，代入b²=a（a+b）化简得出b²=a²+c²，可得△ABC是以B为直角的直角三角形．再根据勾股定理加以计算，即可得出

a+c

b

的值．

解答： 解：∵cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴cos（A-B）+cosC=2sinAsinB，
又∵cos（A-B）+cosC=1-cos2C=2sin²C，
∴2sinAsinB=2sin²C，结合正弦定理得ab=c²，
∵b²=a（a+b）=a²+ab，
∴b²=a²+c²，可得△ABC是以B为直角的直角三角形．
∵c²=ab=b²-a²，
∴(

a

b

)2+

a

b

-1=0，

a

b

=

5 -1

2

（负值舍去），
∴

c

b

=

1-( a b )2

=

5 -1 2

，
∴

a+c

b

=

5 -1

2

+

5 -1 2

．

点评：本题给出三角形ABC的边与角满足的条件，求边之间的比值．着重考查了三角恒等变换、正弦定理、勾股定理的应用等知识，属于中档题．