Question

设函数f（x），若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=x²-3x+1，x≥2； ④f（x）=

x

x2+x+1

；
你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的概念及其构成要素

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据F函数的定义，分别判断是否存在常数m，即可得到结论．

解答： 解：①若f（x）=0；则|f（x）|=0，
∴当m＞0时，恒有|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
②f（x）=2x；|f（x）|=2|x|≤2|x|，
当m=2时，|f（x）|≤m|x|成立，∴满足条件．
③f（x）=x²-3x+1，x≥2；则

|f(x)|

|x|

=|

x2-3x+1

x

|=|x+

1

x

-3|，
∵x≥2，函数y=x+

1

x

为增函数，
∴y=x+

1

x

≥2+

1

2

=2

1

2

，
则不存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，
∴不满足条件．
 ④f（x）=

x

x2+x+1

；则

|f(x)|

|x|

=

1

x2+x+

=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，
∴当m=

4

3

时，|f（x）|≤m|x|对一切定义域内x均成立，∴满足条件．
故只有①②④满足条件．

点评：本题主要考查与函数有个的新定义的应用，正确理解题意是解决本题的根据，综合性较强，难度比较大．