Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P到右准线距离为d，则d≥a-

a2

c

，求出P到右焦点的距离，P到左焦点的距离，利用双曲线的定义，结合d≥a-

a2

c

，建立不等式，即可确定双曲线离心率的范围．

解答： 解：由题意，设P到右准线距离为d，则d≥a-

a2

c

．
根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，
∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，
∴P到左焦点的距离为6d，
∴6d-ed=2a，
∴d=

2a

6-e

（e＜6），
∴

2a

6-e

≥a-

a2

c

，
∴

2

6-e

≥1-

1

e

，
∴e²-5e+6≥0，
∴e≤2或e≥3，
∵1＜e＜6，
∴1＜e≤2或3≤e＜6．
故答案为：1＜e≤2或3≤e＜6．

点评：本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．