Question

如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=

3

PQ，则△PAC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明

专题：直线与圆

分析：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-

3

2

，0）为圆心，以

33

2

为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．

解答： 解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
设P（x，y），
∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=

3

PQ，
∴

(x-3)2+y2

=

3

•

x2+y2-1

，
整理，得x²+y²+3x-6=0，
∴点P的轨迹方程是以（-

3

2

，0）为圆心，
以r=

1

2

9+24

=

33

2

为半径的圆，
∴当点P在直线x=-

3

2

上时，△PAC的面积的最大，
∴（S_△PAC）_max=

1

2

×4×

33

2

=

33

．
故答案为：

33

．

点评：本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．