Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=

1

2

AD=1．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求证：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为

π

6

？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（I）作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由题设条件推导出四边形AEFG为正方形，从而得到CDAG为平行四边形，由此能够证明CE∥面ABF．
（Ⅱ）利用已知条件推导出BG⊥面AEFG，从而得到AF⊥平面BGE，由此能够证明AF⊥BE．
（Ⅲ）以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能够求出结果．

解答： （I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，
连结EG交AF于H，连结BH，BG，
∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内．
由AE⊥平面ABCD，知AE⊥AG，
∴四边形AEFG为正方形，
∴CDAG为平行四边形，…（2分）
∴H为EG的中点，B为CG中点，∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵在平行四边形CDAG中，∠ADC=90°，
∴BG⊥AG．又由AE⊥平面ABCD，知AE⊥BG，
∴BG⊥面AEFG，∴BG⊥AF．…（6分）
又∵AF⊥EG，∴AF⊥平面BGE，
∴AF⊥BE．…（8分）
（Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．
由题意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），
设M（1，y₀，0），则

ED

=(0 ，  2 ，  -1)，

DM

=(1，y0-2，0)，
设面EMD的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

n • ED =2y-z=0 n • DM =x+(y0-2)y=0

，令y=1，得z=2，x=2-y₀，
∴

n

=（2-y₀，1，2）．…（10分）
又∵

AE

⊥面 AMD，
∴

AE

=(0，  0，  1)为面AMD的法向量，
∵二面角E-MD-A的大小为

π

6

，
∴|cos＜

n

，

AE

＞|=|

2

1× (2-y0)2+1+4

|=cos

π

6

=

3

2

，
解得y0=2±

3

3

，
∴在BC上存在点M，且|CM|=|2-(2±

3

3

)|=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用．