Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点
（Ⅰ）在B₁C上是否存在点P，使PB∥平面B₁ED，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面B₁ED的法向量，设P（2，λ，2-λ），则

PB

=(0，-λ，λ-2)，利用

n1

•

PB

=0时，PB∥平面B₁ED，即可得出结论；
（Ⅱ）求出平面B₁EC的一个法向量，平面B₁ED的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，0，0），B₁（2，0，2）
∴

B1E

=(-1，0，-2)，

ED

=(-1，2，0)，
设平面B₁ED的法向量

n1

=（a，b，c），
则

a+2c=0 a-2b=0

，取a=2，则b=1，c=-1，

n1

=（2，1，-1）
设P（2，λ，2-λ），则

PB

=(0，-λ，λ-2)
∵PB?平面B₁ED，∴当且仅当

n1

•

PB

=0时，PB∥平面B₁ED
∴-λ-（λ-2）=0，λ=1，∴P（2，1，1），
即P是B₁C的中点时，PB∥平面B₁ED； …6分
（Ⅱ）

B1E

=(-1，0，-2)，

EC

=(1，2，0)，设平面B₁EC的法向量

n2

=（x，y，z）
由

x+2z=0 x+2y=0

，取x=2，则y=z=-1，

n2

=（2，-1，-1）
设二面角D-B₁E-C的平面角为θ，易知0＜θ＜

π

2

，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

3

． …12分．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的应用，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．