Question

若对任意x＞0，

x

x2+3x+1

≤a恒成立，则a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据基本不等式，将不等式恒成立转化为求函数的最大值即可得到结论．

解答： 解：

x

x2+3x+1

=

1

x+3+ 1 x

，
∵x＞0，
∴x+3+

1

x

≥3+2

x? 1 x

=3+2=5，当且仅当x=

1

x

，
即x=1时取等号，
∴0＜

1

x+3+ 1 x

≤

1

5

，
∴要

x

x2+3x+1

≤a恒成立，
则a≥

1

5

，
故a的最小值为

1

5

，
故答案为：

1

5

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将条件转化为基本不等式形式是解决本题的关键．