Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P是线段A₁C₁上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,球

分析：画出图形，设P-ABCD的外接球的球心为G，说明GP=GA=R，设O₁P=x，O₁G=y，求出OG=1-y，推出R²=x²+y²，然后推出R与y的函数关系，利用二次函数的值域求出R的范围即可．

解答： 解：如图，设P-ABCD的外接球的球心为G，
∵A，B，C，D在球面上，∴球心在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上下底面中心连线O₁O上，点P也在球上，
∴GP=GA=R
∵棱长为1，∴OA=

2

2

，设O₁P=x，O₁G=y，
则OG=1-y，在Rt△GO₁P中，有R²=x²+y²…①，
在Rt△GOA中，R2=(

2

2

)2+(1-y)2…②，将①代入②，得x2=

3

2

-2y，
∵0≤x≤

2

2

，∴

1

2

≤y≤

3

4

，∴R2=x2+y2=

3

2

-2y+y2=(y-1)2+

1

2

∈[

9

16

，

3

4

]，
于是R的最小值为

3

4

．R的取值范围是：[

3

4

，

3

2

]．
故答案为：[

3

4

，

3

2

]．

点评：本题考查球与几何体的关系，二次函数的最值的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用．