Question

如图①，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADMA₁和CDNC₁都是正方形． 将两个正方形分别沿AD，CD折起，使M与N重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图②）．
（1）求证：不管点E如何运动都有CE∥面ADD₁；
（2）当线段BE=

3

2

a时，求二面角E-AC-D₁的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出面BCC₁∥面ADD₁，由此能够证明CE∥面ADD₁．
（2）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别在x，y轴，建立空间直角坐标系所示，利用向量法能求出二面角E-AC-D₁的大小．

解答： 解：（1）∵CC₁∥DD₁，BC∥AD，
∴面BCC₁∥面ADD₁，
又∵CE?面BCC₁，
∴不管点E如何运动都有CE∥面ADD₁．
（2）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别在x，y轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
由题意知A（

3

2

a，0，0），C（-

3

2

a，0，0），D1(0，-

a

2

，a)，E（0，

a

2

，

3

2

a），
∴

AD1

=（-

3

2

a，-

a

2

，a），

AC

=（-

3

a，0，0），
设平面D₁AC的法向量为

n1

=（x₁，y₁，1），
则

n1

•

AD1

=0，

n1

•

AC

=0，
∴

- 3 2 ax1- a 2 y1+a=0 - 3 ax1=0

，∴

n1

=（0，2，1），
又∵

EA

=（

3

2

a，-

a

2

，-

3a

2

），

EC

=（-

3

2

a，-

a

2

，-

3a

2

）
设平面EAC的法向量

n2

=（x₂，y₂，-1），
则

n2

•

EA

=0，

n2

•

EC

=0，
∴

3 2 ax2- 1 2 ay2- 3 2 az2=0 - 3 2 ax2- 1 2 ay2- 3 2 az2=0

，
∴

n2

=（0，3，-1），
设二面角E-AC-D₁的大小为θ，
则cosθ=

0+6-1

5 • 10

=

2

2

，∴θ=45°，
∴二面角E-AC-D₁的大小为45°．

点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．