Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．
（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

，
又AC⊥AD，
故△DAC为等腰直角三角形，
∴DC=

2

AC=

2

（

2

AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则

DM

MB

=

DC

AB

=2．
连接EM，在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，∴PD∥EM，
又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．…（8分）
（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设

n1

=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
∵

AC

=（3，3，0），

AE

=（0，2，1），
∴

x+y=0 2y+1=0

解得x=

1

2

，y=-

1

2

，
∴

n1

=（

1

2

，-

1

2

，1）．
设

n2

=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，
又

BC

=（3，0，0），

BP

=（0，-3，3），
∴

x′=0 -3y′+3=0

，
解得x′=0，y′=1，
∴

n2

=（0，1，1）．
（取PB中点为F，连接AF可证

AF

为平面PBC的一个法向量．）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

6

，
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为

3

6

..…（13分）
注：以其他方式建系的参照给分．

点评：本题给出底面是直角梯形的四棱锥，求证线面平行和面面垂直，着重考查了空间线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定，考查面面角等知识，属于中档题．