Question

若对于任意的正数x，不等式3^x（x²-2a）＞1恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、（-2，+∞）
• C、（

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，-

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：法一（排除法）：取a=1，可检验不等式对x=1不成立，可得答案；
法二：分离参数a，转化为函数最值解决，利用函数单调性易求最值；

解答： 解法一（排除法）：取a=1，则3^x（x²-2a）=3^x（x²-2），
显然，对x=1时，3^x（x²-2）=-3＞1不成立，故a=1不适合，
从而排除选项A、B、C，
故选：D．
法二：不等式3^x（x²-2a）＞1可化为2a＜x2-

1

3x

，则问题等价于2a＜(x2-

1

3x

)min，
而x2-

1

3x

在（0，+∞）上单调递增，∴x＞0时，x2-

1

3x

＞-1，
∴2a≤-1，解得a≤-

1

2

，即a的范围为（-∞，-

1

2

]．
故选：D．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，排除法在解决选择题时非常高效，要结合选项灵活运用；恒成立问题常化为函数最值问题解决，直接求函数最值，或分离参数后再化为函数最值．