Question

将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角B-AC-D的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间角

分析：取BD的中点E，连接CE，取AC的中点F，连接BF，DF，则BF⊥AC，DF⊥AC，可得∠BFD为二面角B-AC-D的平面角，求出三角形的三边，利用余弦定理，可求二面角B-AC-D的余弦值．

解答： 解：取BD的中点E，连接CE，则AE⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥平面BCD
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AE=CE=

2

2

，
∴AC=1，
取AC的中点F，连接BF，DF，则BF⊥AC，DF⊥AC．
∴∠BFD为二面角B-AC-D的平面角．
∵AB=BC=DA=DC=1，
∴BF=DF=

3

2

，
∵BD=

2

，
∴cos∠BFD=

3 4 + 3 4 -2

2• 3 2 • 3 2

=-

1

3

．
∴二面角B-AC-D的余弦值为-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题考查图形的翻折，考查面面角，考查余弦定理的运用，正确作出面面角是关键．