Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2012型增函数”，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据条件求出x=0时f（0）=0，x＜0的表达式f（x）=2a-|x+a|，然后由f（x）为R上的“2012型增函数”，对x分x=0，x＞0，x＜0三种情况讨论，注意运用a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）min，x＜0时，还要对x+2012分x+2012＞0，x+2012＜0讨论，求出a的范围，最后再求它们的交集．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 2a-|x+a|，x＜0

，
又f（x）为R上的“2012型增函数”，
当x=0时，f（x+2012）=f（2012）=|2012-a|-2a，f（0）=0，
由f（2012）＞f（0）解得：a＜

2012

3

；
当x＞0时，由定义有|x+2012-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2012-a|＞|x-a|，
两边平方，整理得：a＜1006+x，从而a≤1006；
当x＜0时，分两类研究：
（1）若x+2012＜0，即x＜-2012，则有-|x+2012+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2012+a|，两边平方，整理得：a＜-1006-x，
∵-x＞2012，∴a≤1006；
（2）若x+2012＞0，则有|x+2012-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2012-a|＞4a，
当a≤0时，显然成立；
当a＞0时，由于|x+a|+|x+2012-a|≥|-a-a+2012|=|2a-2012|，故有|2a-2012|＞4a，
必有2012-2a＞4a，解得a＜

1006

3

；
综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 a＜

1006

3

，
即a的取值范围是（-∞，

1006

3

）．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，解题时注意转化为求函数的最值问题，同时考查分类讨论数学思想，注意讨论全面，最后求交集，本题是一道难题．