Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，且不等式|f（x）|≤2|x²-x-2|对一切x∈R恒成立，则不等式x²+ax+b＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式的右端式子进行因式分解，根据绝对值不等式的性质即可得到f（x）的两个根，然后求不等式的解集即可得到结论．

解答： 解：∵不等式|f（x）|≤2|x²-x-2|对一切x∈R恒成立，
∴等价为|f（x）|≤2|（x+1）（x-2）|对一切x∈R恒成立，
∴|f（-1）|≤2|（-+1）（-1-2）|=0，
|f（2）|≤2|（2+1）（2-2）|=0，
即f（-1）=0，f（2）=0，
即x=-1或x=2是方程f（x）=0的两个根，
∴不等式x²+ax+b＜0的解集为（-1，2），
故答案为：（-1，2），

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求出f（x）的解是解决本题的根据．