Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1-bn

2

（n∈N^﹡）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，比较c_n+1与c_n的大小；
（Ⅲ）记c_n=a_n•b_n求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出数列{a_n}的公差，即可求其通项，判断{b_n}是等比数列，即可求{b_n}通项公式；
（Ⅱ）求出c_n=a_n•b_n，利用作差法，即可比较c_n+1与c_n的大小；
（Ⅲ）利用错位相减法即可求得{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）方程x²-14x+45=0的两根是5，9．
∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₃=5，a₅=9，
∴d=2，
∴a_n=5+2（n-5）=2n-1；
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴b_n=

1

3

b_n-1，
∵b_n=

1

3

，
∴数列{b_n}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴b_n=

1

3n

；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴c_n+1-c_n=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

，
∴n=1时，c_n+1=c_n，n≥时，c_n+1＜c_n；
（Ⅲ）c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=

1

3

+3•3^-2+5•3^-3+…+（2n-1）•3^-n①，

1

3

T_n=3^-2+3•3^-3+5•3^-4+…+（2n-1）•3^-n-1②，
①-②整理可得，T_n=1-n•3^-n．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式及数列求和，考查错位相减法对数列求和，属于中档题．