Question

在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=

2

a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（2）设SB的中点为M，当

CD

AB

的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（1）由CD∥AB，得到CD∥平面SAB，进面得到CD∥EF，再由题设条件推导出CD⊥ED，EF＜AB＜CO，由此能够证明四边形EFCD为直角梯形．
（2）由已知条件推导出∠AED是二面角B-EF-C的平面角，由此能求出二面角B-EF-C的平面角的正切值．
（3）当

CD

AB

=2时，能使DM⊥MC．由题设条件推导出BC⊥平面SBD．进而得到MD⊥MC，由此得到△DMC为直角三角形．

解答： 解：（1）∵CD∥AB，CD在平面SAB外，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
又∵平面EFCD∩平面SAB=EF，
∴CD∥EF，
∵∠A=∠D=90°，∴CD⊥AD，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥SD，∵SD∩AD=D，
∴CD⊥平面SAD，
∵ED?平面SAD，∴CD⊥ED，
又∵EF＜AB＜CO，∴四边形EFCD为直角梯形．
（2）∵CD⊥平面SAD，且CD∥EF，
∴EF⊥平面SAD，∵AE?平面SAD，DE?平面SAD，
∴AE⊥EF，EF⊥DE，
∴∠AED是二面角B-EF-C的平面角，
∵ED⊥CD，∴EC²=ED²+CD²，
又∵AC²=AD²+CD²，且AC=EC，
∴ED=AD=a，∴△ADE是等腰三角形，
∴tan∠AED=tan∠SAD=

SD

AD

=

2

．
∴二面角B-EF-C的平面角的正切值是

2

．
（3）当

CD

AB

=2时，能使DM⊥MC．
∵AB=a，∴CD=2a，BD=

AB2+AD2

=

2

a，∠BDC=45°，
∴BC=

2

a，BC⊥BD，
∴SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC，∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．∴MD⊥平面SBC，MC?平面SBC，
∴MD⊥MC，∴△DMC为直角三角形．

点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间几何体的合理转化．