Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2
（1）求ω和A的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-

20

13

，求cos（α-β）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1））依题意得ω=

2π

6π

=

1

3

，又f（2π）=2，知A=4；
（2）由f（3α+π）=4cosα=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-sinβ=-

20

13

，可求得cosα=

4

5

，sinβ=

5

13

；从而可求得cos（α-β）．

解答： 解：（1）依题意得ω=

2π

T

=

2π

6π

=

1

3

，
∴f（x）=Asin（

x

3

+

π

6

），
又f（2π）=2，即Asin

5π

6

=2，
∴A=2×2=4，
（2）由（1）知，f（x）=4sin（

x

3

+

π

6

），
∵f（3α+π）=4sin（

3α+π

3

+

π

6

）=4sin（α+

π

2

）=4cosα=

16

5

，
∴cosα=

4

5

；
又f（3β+

5π

2

）=4sin（

3β+ 5π 2

3

+

π

6

）=4sin（β+π）=-sinβ=-

20

13

，
∴sinβ=

5

13

；
又α，β∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

1-cos2α

=

3

5

，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=

4

5

×

12

13

+

5

13

×

3

5

=

63

65

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数中的恒等变换应用．着重考查诱导公式与两角差的余弦，属于中档题．