练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设a、b、x、y都是正数，且x+y=a+b．求证：
    a2
    a+x
    +
    b2
    b+y
    ≥
    a+b
    2
    ．（用柯西不等式证明）
    考点：不等式的证明
    专题：选作题,综合法
    分析：根据柯西不等式可得（a+x+b+y）（
    a2
    a+x
    +
    b2
    b+y
    ）≥（a+b）2，结合x+y=a+b即可得出结论．
    解答： 证明：由柯西不等式可得（a+x+b+y）（
    a2
    a+x
    +
    b2
    b+y
    ）≥（a+b）2，
    由于x+y=a+b，所以a+x+b+y=2（a+b）
    所以2（a+b）（
    a2
    a+x
    +
    b2
    b+y
    ）≥（a+b）2，
    所以
    a2
    a+x
    +
    b2
    b+y
    ≥
    a+b
    2
    ．
    点评：本题主要考查了二元形式的柯西不等式的内容与形式，掌握根据柯西不等式的内容即：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）是关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2
    		3
    ．
    （1）求证：OF⊥平面ABCD；
    （2）求二面角F-BC-D的正切值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2
    		2
    ，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2）
    （1）若θ=
    π
    2
    ，求证：CD⊥AB；
    （2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；
    （3）取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得
    AP
    PB
    =
    NQ
    QD
    =λ(λ∈R)    ．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求证：对任意θ∈（0．π），总存在实数λ，使得sinθ1+sinθ2均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时θ与λ的关系．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=Asin（ωx+
    π
    6
    ）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2
    （1）求ω和A的值；
    （2）设α，β∈[0，
    π
    2
    ]，f（3α+π）=
    16
    5
    ，f（3β+
    5π
    2
    ）=-
    20
    13
    ，求cos（α-β）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
    1-bn
    2
    （n∈N﹡）．
    （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）记cn=an•bn，比较cn+1与cn的大小；
    （Ⅲ）记cn=an•bn求数列{cn}的前n项和Tn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如果（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，那么a1+a2+…+a6的值等于
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2012型增函数”，则实数a的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x=log52，y=e-
    1
    2
    ，z=
    1
    2
    （e是自然对数的底数），则（　　）
    A、x＜y＜z
    B、y＜x＜z
    C、z＜x＜y
    D、x＜z＜y

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案